Funciones Polinomiales de Segundo Grado ( Parábolas):

La gráfica de toda función polinomial de segundo grado es una parábola. Las parábolas tienen un eje de simetría (si se habla de funciones este eje es vertical), que las parte de manera que cada punto (excepto uno, el vértice), tiene una contraparte a la misma distancia del eje de simetría. El único punto que no tiene contraparte es precisamente el punto que se encuentra sobre el eje de simetría y es un máximo o un mínimo absoluto. Las características de las parábolas son:

,

donde a tiene que ser diferente de cero, mientras b y/o c pueden ser cero.

1.- Dominio

El donimio de toda función polinomial de segundo grado es: D = ( -oo, oo) 

2.- Intersecciones con el eje "x".

Depende de la ecuación cuadrática a resolver cuando se iguala el valor de y = 0.

Las funciones cuadráticas pueden tener 2,1 o niguna intersección con el eje "x".

3.- Intersección con el eje "y":

La intersección con el eje "y" es en

y = c 

 4.- Pendiente de la recta tangente o primera derivada:

y ' = 2ax + b

La pendiente de la recta tangente a la parábola a diferencia de una función lineal, es variable.

Toda función cuadrática tiene una tangente horizontal, debido a que su primera derivada es lineal.

La tangente horizontal está en: x = -2a/b

y justo antes y después de este valor, la pendiente cambia de ser negativa a positiva o viceversa, por lo tanto en x = -2a/b hay un máximo o un múnimo.

 5.- Criterio de concavidad y puntos de inflexión:

y '' = 2a

Esto significa, que la segunda derivada es constante, y que depende del valor de "a".

Si "a" es positivo en la función original, la concavidad es positiva (hacia arriba), lo cual indicaría que la tangente horizontal que se encontró en el paso anterior, correspondía a un mínimo (en otras palabras la parábola abría hacia arriba). Si "a" es negativa, la concavidad es negativa (hacia abajo) y la tangente horizontal correspondía a un máximo. 

 6.- Límites de interés:

Los límites hacia más y menos infinito de una función cuadrática, expresan que ambos tienden a "oo", si "a" era positiva.

Tienden hacia "-oo" las dos, si "a" es negativa. Esto se debe a que la "x" está elevado al cuadrado. Nota que esta característica le confiere a la función la capacidad de no tener que intersectarse con el eje "x" a fuerza.

Reflexionemos sobre las funciones cuadráticas:

Analicemos tres funciones cuadráticas diferentes:

,

D = ( -oo, oo )

Int"x" en x = 8.875 y x = 1.125

Int "y" en y = 10 

 

Intersecciones con el eje "x" 

,,

,

Primera derivada y tangentes horizontales: 

; ( 5 , -15 ), punto que es el vértice de la gráfica de la parábola.

Límites de interés:

Los límites hacia +oo y -oo, son en ambos casos +oo. Esto concuerda con la gráfica, ya que la función viene de infinito y se va hacia infinito.

 Segunda derivada y concavidad:

y '' = 2 > 0 ; por lo tanto la concavidad es positiva, y la parábola abre hacia arriba y la tangente horizontal encontrada corresponde a un mínimo en: ( 5, -15)

 

D = ( -oo, oo )

 

 Intersecciones con el eje "x"

f(x) = 0 = - (x-3)(x-2), por lo que;

Int"x" en x = 3 y en x = 2

Interseción con el eje "y"

Si x = 0, f(0) = -6, por lo que;

Int"y" en y = -6

Primera derivada y tangentes horizontales: 

y ' = -2x + 5

Para encontrar la tangente horizontal, y ' = 0

x = 5/2

( 5/2, 1/4) es el punto donde se tiene una tangente horizontal. Dado que el punto corresponde al valor de x = -b/2a, ahí se encuentra el vértice de la parábola. 

Límites de interés: 

Si se analizan los límites hacia infinito de la función, nos damos cuenta, de que viene de menos infinito y se va hacia menos infinito. Siendo una parábola, ésta tiene que abrir hacia abajo, dato que también se comprueba con la cancavidad.

Todas las características que se están calculando, se pueden corroborar en la gráfica.

 Segunda derivada y concavidad:

y '' = -2 < 0 ; por lo tanto la concavidad es negativa, y la parábola abre hacia abajo y la tangente horizontal encontrada corresponde a un máximo en: (5/2 , 1/4 )

 

D = ( -oo, oo )

 

 Intersecciones con el eje "x"

Esta parábola no tiene intersecciones con el eje "x" (como se puede ver en la gráfica). Esto se debe a que la discriminante es negativa.

Intersección con el eje "y"

f(0) = 8

Int"y" en y = 8

 Primera derivada y tangentes horizontales:

y ' = 2x -5 = 0 para localizar la tangente horizontal.

x = 5/2, por lo que en el punto,

(5/2, 7/4) se encuentra una tangente horizontal, la cual es el vértice de la parábola.

Límites de interés:

Los límites de la función hacia infinito indican que la función viene de infinito y se va hacia infinito, por lo cual, tiene que tener un mínimo, para que pueda cumplir con esta característica. 

 Segunda derivada y concavidad:

y '' = 2 > 0, por lo tanto, la concavidad es positiva para toda la parábola, lo que indica, que la parábola abre hacia arriba, y que la tangente horizontal encontrada en el paso anterior es un mínimo.

 OBSERVACIONES:  Estas características y comentarios pudieran parecer algo simples en las parábolas, ya que las conocemos bastante bien. Es importante hacer estos análisis, ya que en funciones más complejas nos pueden llevar a conclusiones importantes.