Funciones crecientes y decrecientes

Funciones crecientes:

 Funciones crecientes:

Cuando se avanza a la derecha en los valores de "x", y el valor de "y" aumenta

Ubicándose en el punto (0,1), si se avanzan en "x" 3 unidades hacia la derecha, el valor de "y" aumenta de 1 a 7.  

 Funciones decrecientes:

Cuando de avanza a la derecha en los valores de "x", y el valor de "y" disminuye

Ubicándose en el punto (0,9), si se avanza en "x", por ejemplo, 2 unidades el valor de "y" disminuye de 9 a 5.  

En realidad la "medición" de creciente o decreciente es cuestión de un punto. Se dice que una función es creciente en el punto "x1", cuando la recta tangente en ese punto tiene pendiente positiva. Así mismo, cuando la recta tangente a un punto "x2" tiene pendiente negativa, se dice que la función es decreciente en ese punto. Ahora bien, si varios puntos consecutivos en una función tienen pendiente positiva, se dice que la función es creciente en un cierto intervalo de la función, así como puede ser decreciente en un tramo, cuando la pendiente de las rectas tangentes de puntos consecutivos es negativa.

Se puede definir a la función en sus diferentes tramos como creciente o decreciente, pero también se puede diferenciar entre cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Así una función puede ser, por ejemplo: creciente y cóncava hacia arriba, o decreciente y cóncava hacia abajo. Ver tabla tramos de funciones con diferentes características.

Obsérvese el siguiente ejemplo:

 Funciones crecientes

Una función es creciente en un punto, cuando la recta tangente a la curva enese punto,tiene una pendiente positiva.

 En x = 0 la recta tangente a la curva tiene una pendiente m = 2, o sea, positiva, por lo tanto la función es creciente en el punto (0,0)

Cabe mencionar, que la curva es creciente en el intervalo de "x" desde menos infinito a 1 (sin incluir el 1), ya que todas las rectas tangentes a la curva en ese intervalo tienen pendiente positiva.

Obsérvese la recta punteada, que es la recta tangente a la curva en x = 0. Esta recta tiene pendiente positiva.

 Funciones decrecientes

Una función es decreciente en un punto (el cual puede ser tan pequeño como se quiera), cuando la tangente a la curva tiene una pendiente negativa.

 En x = 2 , la recta tangente a la curva tiene una pendiente m = -2, o sea, negativa, por lo tanto la función es decreciente en el punto (2,0).

Cabe mencionar, que la curva es decreciente en el intervalo de "x" de 1 a infinito (sin incluir el 1), ya que todas las pendientes de las rectas en ese intervalo son negativas.

 

Obsérvese la línea punteada, que es la recta tangente a la curva en x = 2, y que su pendiente es negativa. Por lo tanto en x = 2, la función es decreciente.

 Tangentes horizontales

Una función no es creciente ni decreciente cuando presenta una tangente horizontal en un punto específico.

 En x = 1, la recta tangente a la curva tiene una pendiente m = 0, o sea, la recta tangente tiene una pendiente de cero, por lo cual es horizontal. La función en el punto (1,1) no es creciente ni decreciente.

En realidad es justo el punto en la que cambia de ser creciente a decreciente.

 

La característica de tener una recta tangente horizontal tiene varias interpretaciones para la función, una de ellas es que podemos encontrar un Máximo o un Mínimo y la otra es que se pueda tener un punto de inflexión con tangente horizontal.

Tangentes verticales

Una función tiene rectas tangentes "casi" verticales en un punto cercano a una asíntota vertical.

 

La recta tangente a la curva en valores de x muy cercanos a 4 (pero mayores que 4), tiene una tangente "prácticamente" vertical (el valor de la pendiente de la recta tangente es infinito).