Funciones Exponenciales

Las funciones exponenciales son aquellas, que tienen una base constante y un exponente variable, la base más común es "e" (e=2.7182), pero cualquier base es válida, siempre y cuando sea positiva y diferente de 1. Esto significa, que también son permisibles las bases fraccionarias mayores a cero y menores que 1.

Las funciones exponenciales se pueden graficar a partir de la gráfica de la función exponencial básica, haciendo posteriormente las transformaciones adecuadas.

 La más común de las funciones exponenciales es la de base "e". Si se analizan los valores de la función para los distintos valores de "x", se llega a la conclusión, que la función nunca es negativa, por lo tanto no tiene intersección con el eje "x". Otra característica importante (misma que se comprobará calculando límites) es que tiene una asíntota horizontal unilateral (sólo para valores muy negativos de "x") en y = 0; y que para valores grandes de "x" va a crecer indefinidamente. La intersección con el eje "y" es cuando x=0, y y=1

Se pueden tener funciones exponenciales con cualquier base.También en estos casos se hacen las transformaciones después de tener una función base. Si la base es mayor a 1, lo que cambia es la forma de la gráfica, no cambia el valor de la intersección con el eje"y", ni el hecho de que sea positivo siempre el valor de la función.

; cuya base es menor que "e", crece más lentamente que la gráfica de base "e". (gráfica roja)

; cuya base es mayor que "e", crece más rápidamente que la gráfica de base "e". (gráfica azul) ¡Compárelas!

 

A partir de esta función básica, se pueden hacer transformaciones, algunas de las cuales se estudiarán aquí (no todas las posibilidades, esto se deja al estudiante).

 Una de las transformaciones interesantes de las funciones son los desplazamientos a la izquierda o hacia la derecha de una función. Estos desplazamientos se obtienen, cuando es modificado el valor de "x". En el ejemplo presente,cuando x = -1, se tendrá el mismo valor de la función que cuando x era igual a cero en la gráfica anterior. Por lo tanto, se recorre la gráfica hacia la izquierda una unidad.

Esto implica que no hay intersección con el eje "x", ya que sólo se recorrió hacia la izquierda, lo cual no hace que los valores de "y" sean negativos.

 

  Otra de las transformaciones es la traslación hacia arriba o hacia abajo de la gráfica de la función. Si a partir de la gráfica básica, hay un desplazamiento hacia abajo, evidentemente si va a haber intersección con el eje "x".Esta función sufrió una traslación hacia abajo en dos unidades, que se nota debido a la resta de dos unidades, a la función original.

OJO: No es lo mismo restar 2 unidades a la función original (lo que provoca el recorrimiento hacia abajo), que una transformación del valor de x, elevando "e" a la "x+1" (que recorre la gráfica hacia la izquierda).

 

 Si analizamos esta gráfica con respecto a la gráfica básica, no damos cuenta, que es la imagen, reflejada en el eje "y". El exponente negativo, nos dice que lo que antes era el valor de "y" en las "x" positivas, ahora estará en las "x" negativas correspondientes y viceversa. Siendo una reflexión con respecto al eje "y", nos damos cuenta, que tampoco tiene intersección con el eje "x", y la intersección con el eje "y" es en y = 1.

El secreto de esta gráfica radica en un hecho algebraico o de exponentes, ya que:

Todas las funciones exponenciales con base fraccionaria entre 0 y 1, son reflexión de las funciones correspondientes con la base inversa.

 

En este espacio hemos graficado exclusivamente funciones exponenciales con base "e", si se quisieran graficar funciones exponenciales con otra base, sólo hay que tener en cuenta la función básica en la otra base.

 Tratemos de graficar la función:

En primer lugar, la función exponencial está multiplicada por -1, por lo tanto, hay que hacer una reflexión de la gráfica hacia abajo; posteriormente hay que trasladar la gráfica 3 unidades hacia arriba.

¿Gráfica?

 Analicemos la siguiente función:

En esta gráfica además de hacer una reflexión hacia abajo (todos los valores son negativos), se multiplica por 2, esto provoca una forma diferente de la gráfica. La intersección con el eje "y" es en y = -2; cuando "x" adopta valores muy negativos, el valor de la función tiende a "0", nadamás que en este caso se tiene que acercar por abajo a ese valor, ya que viene de valores siempre negativos.

¿Gráfica?

 Y por último la función:

Esta función modifica el valor de x, por lo tanto también su apariencia es diferente. Si x = 0, el valor de la función es 2 (1 de la parte exponencial + 1), de ahí en fuera crece más rápido para valores positivos en "x", y decrece más rápido para valores negativos de "x". Otro detalle es, que la función tiene como valor mínimo el 1 (asíntota horizontal en y = 1).

 ¿Gráfica?