Asíntotas horizontales:

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Desde el punto de vista funciones racionales sólo hay dos tipos que presentan asíntotas horizontales; las que tienen el grado del numerador igual o menor que el grado del denominador.

2.- También presentan asíntotas horizontales algunas funciones exponenciales así como algunas logarítmicas.

 1A) Grado del numerador menor al grado del denominador

 

La gráfica de la función tiene una asíntota horizontal en y = 0.

 

Si analiza uno un poco el límite calculado, se da uno cuenta que existe una diferencia entre el límite hacia oo y el de -oo.

Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo, se divide entre un número muy grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por los valores positivos.

Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -oo, se divide entre un número negativo muy grande, y la división tiende a cero, pero por valores negativos.

 

Estas dos observaciones son de gran importancia, ya que nos pueden dar información de por dónde se acerca la curva a la asíntota horizontal.

En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba.

En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.

OJO: Analícese la siguiente función, que cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse a la asíntota por arriba viniendo de abajo.

 

La función tiende a 0 cuando x tiende a valores muy grandes o muy negativos.

Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.

 

Por otro lado, si x tiende a valores muy negativos, la función tiende a cero, pero por valores negativos, lo cual nos indicaría, que se acerca a la asíntota horizontal por abajo.

Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0

 

En la gráfica se alcanza a distinguir, que del lado derecho, la función va por encima del eje "x", en cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo.

OJO: Esto tiene implicaciones serias para la función. Después de cruzar la asíntota horizontal, debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y = 0

 

La función tiene una asíntota horizontal en

y = 0

 

Los dos límites tienden a cero, si hacemos el estudio, como en el primer problema, vemos que los dos límites se acercan a cero por arriba. (Ver gráfica)

 

 

 1B) Grado del numerador igual al grado del denominador

 

Asíntota horizontal en

y = 3

 

Haciendo la división de polinomios, se llega a:

, y se puede deducir, que la parte fraccionaria:

Suma una cierta cantidad al 3, cuando x tiende a oo, aunque siempre más pequeña.

Resta una cierta cantidad al 3, cuando x tuende a -oo, aunque cada vez más cercana a cero.

 

Si suma una cierta cantidad, se acerca al 3 por valores mayores que el 3, o sea, por arriba.

Si resta cierta cantidad, se acerca al 3 por valores menores que el 3, por lo tanto, se acerca a la asíntota por abajo.

OJO: A veces las gráficas pueden ser un poco engañosas, ya que la escala es reducida y no se alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede hacer un análisis de cruce con las asíntotas horizontales.

 

Tiene una asíntota horizontal en y = 2

 

A la hora de hacer uan división de polinomios, se obtiene una parte entera, que es 2, misma que es la asíntota horizontal.(Esto se debe a que los grados del numerador y denominador, son iguales)

Cabe hacer un análisis de la importancia de los coeficientes de los términos de mayor grado tanto en el numerador como en el denominador.

 

Nótese que conforme el grado del numerador y el grado del denominador crece, las gráficas son más complejas. Esta gráfica presenta dos asíntotas verticales, una horizontal y dos intersecciones con los ejes.

 

 

 

Funciones no racionales con asíntotas horizontales 

La función exponencial: 

, tiene una asíntota horizontal unilateral, sólo cuando x tiende a infinito, ya que su límite es 2. Por lo tanto la recta y = 2 es la asíntota horizontal. La gráfica de la función se acerca a la recta y=2, por abajo, ya que siempre se va a restar una cantidad al 2 conforme crezca x.

Al calcular los límites hacia más y menos infinito, se puede ver, que no son iguales, que uno tiende a 2 y el otro a menos infinito.  

, este primer límite nos dice que hay una asíntota horizontal unilateral, sólo hacia la derecha de la función.

, este límite nos indica, que la función no tiene asíntota horizontal hacia la izquierda, que la función decrece rápidamente. No hay que confundir este hecho con el de una asíntota vertical, ya que la función no la tiene. No hay valor para el cual la función no esté definida.

 

La función:

, presenta una asíntota horizontal hacia ambos lados de la función.

Esto se debe a que los límites de la función cuando x tiende a más o menos infinito, los dos son cero. Por lo tanto la asíntota horizontal se encuentra en y = 0, o sea, el eje "x".

El límite cuando x tiende a más infinito, es: 

El límite cuando x tiende a menos infinito, es:

 

Nótese que la función aparte de tener una asíntota horizontal presenta un máximo y además dos puntos de inflexión, sin los cuales no se podría acercar asintóticamente al eje "x".

La función logarítmica 

, tiene, aparte de varias peculiaridades, que habría que analizar posteriormente, una asíntota hrizontal unilateral en y = 0, o sea, el eje "x" funciona con asíntota.

Este límite nos dice, que existe esa asíntota horizontal. 

Es evidente, que x no puede tender hacia menos infinito, ya que el ln de números negativos no existe.

Así también queda claro, que la función no está definida para ningín valor negativo de x. Tampoco está definida para x = 0. Sólo se puede calcular el límite cuando x tiende a o por la derecha: